考研数学基础班
线性代数
主讲：曾祥金
2008-3-18
第一讲 行列式与矩阵
一、内容提要
（一）n阶行列式的定义
（二）行列式的性质
1．行列式与它的转置行列式相等，即 ；
2．交换行列式的两行（列），行列式变号；
3．行列式中某行（列）元素的公因子可提到行列式外面来；
4．行列式中有两行（列）元素相同，则此行列式的值为零；
5．行列式中有两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值为零；
6．若行列式中某行（列）的元素是两数之和，即
，
则
7．将行列式某行（列）的k倍加到另一行（列）上去，行列式的值不变。
（三）行列式依行（列）展开
1．余子式与代数余子式
（1）余子式的定义
去掉n阶行列式D中元素 所在的第i行和第j列元素，剩下的元素按原位置次序所构成的n-1阶行列式称为元素 的余子式，记为
（2）代数余子式的定义
的代数余子式的记为
2．n阶行列式D依行（列）展开
（1）按行展开公式
（2）按列展开公式
（四）范德蒙行列式
（五）矩阵的概念
1．矩阵的定义
由m×n个数 组成的m行n列的矩形数表
称为m×n矩阵，记为
2．特殊的矩阵
（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；
（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵；
（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵；
（4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；
（5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E；
（6）零矩阵：元素全为零的矩阵。
3．矩阵的相等
设
若 ，则称A与B相等，记为A=B。
（六）矩阵的运算
1．加法
（1）定义：设 ，则
（2）运算规律
① A+B=B+A； ②（A+B）+C=A+（B+C）
③ A+O=A ④ A+（-A）=0， –A是A的负矩阵
2．数与矩阵的乘法
（1）定义：设 k为常数，则
（2）运算规律 ① K (A+B) =KA+KB, ② (K+L)A=KA+LA, ③ (KL) A= K (LA)
3．矩阵的乘法
（1）定义：设 则
其中
（2）运算规律
① ；②
③
（3）方阵的幂
①定义：A ，则
②运算规律： ；
（4）矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。
① ②
③
4．矩阵的转置
（1）定义：设矩阵A= ，将A的行与列的元素位置交换，称为矩阵A的转置，记为 ，
（2）运算规律
① ② ；
③ ④ 。
（3）对称矩阵与反对称矩阵
若 则称A为对称阵；
，则称A为反对称阵。
5．逆矩阵
（1）定义：设A为n阶方阵，若存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵，记作 。
（2）A可逆的元素条件：
A可逆
（3）可逆阵的性质
①若A可逆，则A-1也可逆，且(A-1)-1 =A；
②若A可逆，k≠0，则kA可逆，且 ；
③若A可逆，则AT也可逆，且 ；
④若A，B均可逆，则AB也可逆，且 。
（4）伴随矩阵
①定义： ，其中 为 的代数余子式，
②性质：
i） ； ii） ；
iii） ； iv）若A可逆，则 也可逆，且
③用伴随矩阵求逆矩阵公式：
（七）方阵的行列式
1．定义：由n阶方阵A的元素构成的n阶行列式（各元素的位置不变）叫做方阵A的行列式，记为 或detA。
2．性质：
（1） ， （2） ，
（3） ， （4）
（八）特殊矩阵的行列式及逆矩阵
1．单位阵E： ；
2．数量矩阵kE： 当
3．对角阵：
若 ，则
4．上（下）三角阵
设
若 ，则 仍为上（下）三角阵
（九）矩阵的初等变换与初等矩阵
1．矩阵的初等变换
（1）定义：以下三种变换
①交换两行（列）；
②某行（列）乘一个不为零的常数k；
③某行（列）的k倍加到另一行（列）上去，称为矩阵的初等变换。
2．初等矩阵
（1）定义：将n阶单位阵E进行一次初等变换得到的矩阵称为初等阵；
交换i,j两行（列），记为E(i, j)；
第i行（列）乘不为零的常数k记为为E(i(k));
第j行的k倍加到第i行上去，记为E(j(k)i;
（2）初等阵性质
初等阵是可逆阵，且逆阵仍为同型的初等阵；
而
（3）方阵A可逆与初等阵的关系
若方阵A可逆，则存在有限个初等阵 ，使 ，
（4）初等阵的行列式
（5）初等阵的作用：
对矩阵A进行一次初等行（列）变换，相当于用相应的初等阵左（右）乘矩阵A，且
3．矩阵的等价
（1）定义：若矩阵A经过有限次初等变换变到矩阵B，则称A与B等价，
（2）A与B等价的三种等价说法，
①A经过一系列初等变换变到B；
②存在一些初等阵 ，使得
③存在可逆阵P，Q，使得PAQ=B
（十）分块矩阵
1．分块矩阵的定义
以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
2．分块矩阵的运算
（1）设A，B为同型矩阵，采用相同的分法有
则
（2）
（3）设 分块成
其中 的列数分别等于 的行数，则 ，其中
3．准对角阵
（1）定义：形如
Ai为ni阶方阵的矩阵称为准对角阵。
（2）准对角阵的行列式及逆矩阵
设 ，则 ；若每个Ai可逆，则A可逆，且
（3）特殊的准对角阵
（i） ，若A1, A2可逆，则
（ii） ，若A1, A2可逆，则
（iii） 是
且
（iv） ，则
（十一）矩阵的秩
1，定义 矩阵A中存在一个r阶子式不为零，而所有r+1阶子式全为零，则称矩阵的秩为r，记为
2，矩阵秩的求法：初等变换不改变矩阵的秩。即利于初等变换求矩阵的秩。
二、重点
（一）计算行列式；
（二）矩阵的乘法；
（三）矩阵的逆；
（四）矩阵的初等变换。
（五）矩阵的秩。
三、典型例题
（一）行列式的计算
数字型行列式的计算
1，用定义计算行列式
例1 计算行列式
解：由于前n-1行都只有一个元素不为0，由行列式定义知Dn只含一项：b1b2…bn，且符号为 从而 。
2．用行列式性质计算（重点）
例2 计算下列行列式
解 解法一：
解法二：
例3 计算下列行列式
（1）
解（1）：
（2）
例4 计算下列n阶行列式
解
说明：一定要注意此种形式的行列式；例如：
例5 计算n阶行列式
解：
例6 计算行列式 。
解：
3．利用行列式展开计算
例7 设行列式
求第四行各元素的余子式之和的值。
解：由行列式展开知，D的第四行各元素余子式之和的值为行列式
的值
因为将D1接第四行展开得
所以计算
从而D中第四行各元素的余子式之和的值为-28。
说明：若求D中第四行各元素代数余子式之和呢？
例8 计算n阶行列式
解：将行列式按第一列展开得
说明：请注意这种形式的行列式！
4．数学归纳法
例9 证明行列式
证明：当n=1时， 结论成立。
当n=2时， 结论成立。
假设 时结论成立，下证 时结论成立。
由归纳原理知结论成立。
含参数行列式的计算
例10 计算行列式 。
解：
例11 计算三阶行列式 。
解：
抽象行列式的计算
例12 设A, B均为n阶方阵，
解
例13 设三阶矩阵 都是三维行向量，且已知 ，求 。
解：
例14 设A为三阶方阵， ， ， 是三维线性无关的列向量，若 ， ， ，则行列式 。
解：法一 利用分块矩阵，有
两边取行列式有
又∵ ， ， 线性无关，∴
从而得
法二
两边取行列式得
又 ∴
法三
令 由 ， ， 线性无关知P可逆
从而
由相似的性质知
（二）矩阵的运算
1，矩阵的乘法
例15 设 ， 求 及 .
解：
例16 计算
解： 原式＝
2 方阵的幂
例17 （1） 设 ， 求 ；
（2） 设 求 ；
（3） 设 求 。
解 （1） 容易计算得
且
利用结合律可得
（2）由 有
（3） 易知 ， 若记
则 因有 由结合律知
例18 设 ， ，其中P为三阶逆阵，求
解 ∵ ∴
又
∴
故
（三）伴随矩阵
例19 已知 求A中所有元素的代数余子式之和
解 由 ＝
及
知，只需求出A的伴随矩阵 即可得结果。
方法一 用定义求 得
所以 ＝1＋1＋1+(-1)+(-1)=1;
方法二 因为 ，故A可逆。用公式 又
（A E）＝
所以 从而 ＝
故有 ＝1＋1＋1+(-1)+(-1)=1。
（四）可逆矩阵
例20 设 ，求
解： 方法一（用伴随矩阵求 ）因为
， ， ， ，
， ， ， ，
又
故
方法二 （用初等行变换求 ）
∴
例21 已知A, B为三阶方阵，且满足 ，其中E为三阶单位阵
（1）证明矩阵A-2E可逆；
（2）若 ，求矩阵A。
解 （1）由等式 ，两边左乘A
得
即 可逆，
且
（2）由（1）知
又
（五）矩阵方程
例22 设3阶矩阵 满足等式 ,其中
求矩阵 。
解： 由 ,得 又
因为 可逆。
,而
则
例23 设矩阵A的伴随矩阵 ，且 ，其中E为4阶单位阵，求矩阵B。
解 （方法一） 由 ，有 ，得
用A右乘矩阵方程的两边，得
用 左乘两边得
于是 可逆， ∴
计算得
（方法二） 同前有 ，即
∵ 有
∴
于是
∴
（六）初等变换与初等矩阵
例24 设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2列得 ，记 ，则
（A） （B）
（C） （D）
解 选（B）
由初等变换与初等矩阵之间关系知
∴
例25 计算
解 令 则
∴ 原式
例26 设A为n阶可逆阵，交换A的第i行与第j行后得到B。
（1）证明B可逆；（2）求AB-1
解：（1）由初等变换与初等阵的关系知
。
（2）
而
（七）矩阵的秩
例27 设三阶方阵 ，试求R（A）.
解 ∵
1° 时，
2° ∴ R（A）=1；
3° R（A）=2。
例28 设 则
解
又 ∴ 可 逆
故
又
∴
第二讲 向量的线性相关性，矩阵的秩
一、内容提要
（一）n维向量
1．定义：称n个实数 组成的一个有序数组 为实数集R上的n维向量。 称为 的第i个分量，分量的个数称为 的维数。
2．零向量：分量全是0的向量称为零向量，记为0。
3．行向量与列向量：写成一行 的向量称为行向量。写成一列 的向量称为列向量。
（二）向量的线性运算
1．向量的相等
n维向量 ， ，若 ，则称 与 相等，记为 = 。
2．向量的加法
（1）定义：设 则称 为向量 与 的和，记为
（2）负向量与减法
称 为向量 的负向量，称 为 减 。
（3）运算规律
①交换律：
②结合律：
3．数与向量的乘法
（1）定义： 为数k与向量 的乘积，记为
（2）运算规律
①
②
③
（三）向量组的线性相关与线性无关
1．向量的线性组合（线性表示）
对n维向量 和 ，若存在一组数 ，使得 ，则称 是 的一个线性组合。或称 可由 线性表示。
2．向量组的等价
（1）定义：若向量组 的每一个向量都可由向量组 线性表示，且向量组 的每一个向量也可以由向量组 线性表示，则称两个向量组等价。
（2）性质
①反身性：向量组 与自身等价；
②对称性：若向量 与向量组 等价，则向量组 与向量组 等价；
③传递性：向量组 与向量组 等价，且向量组B与向量组 等价，则向量组A与向量组 等价。
3．向量的线性相关与线性无关
（1）定义：对n维向量 ，若存在一组不全为零的数 ，使 ，则称向量组 线性相关。否则，称 线性无关。
（2）性质
①向量组 线性相关的充要条件是其中存在一个向量可由其余向量线性表示。
②向量组 线性无关，且 ， 线性相关，则 可唯一地由 线性表示。
③对n维向量 ，若m＞n，则 必线性相关。
④向量组 线性无关，则其中任一部分向量组必线性无关。
⑤向量组的部分组线性相关，则此向量组必线性相关。
⑥线性无关的向量组的每个向量都添加m个分量后仍线性无关。
⑦若向量组 线性无关，且可由 线性表示，则为有 。（若 则 为线性相关）
（四）向量组的秩与矩阵的秩
1．向量组的极大无关组
设向量组 的部分组 满足条件：
（1） 线性无关；
（2） 中的任一向量均可由它们线性表示，则称向量组 为向量组 的一个极大无关组。
2．向量组的秩
向量组的极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩，记为 。
3．矩阵的秩与向量组的秩的关系
矩阵的秩=它的行向量组的秩=它的列向量组的秩
4．等价的向量组的性质
（1）等价的向量组有相同的秩；
（2）等价的线性无关的向量组含向量的个数相等；
（3）向量组与它的极大无关组等价；
（4）向量组 与 等价的充要条件是 ，其中
（五）向量空间（数字二，三，四不作要求）
1． 向量空间的定义
设V是n维向量的集合，如果V非空，且对于向量的加法和数乘两种运算封闭，则称V为向量空间。
2．基
设V为向量空间，如果n个向量 ，且满足
（1） 线性无关；
（2）V中任一向量都可由 线性表示，则称向量 为向量空间V的一个基。n称为向量空间V的维数，记为 ，并称V为n维向量空间。
3．坐标
设 是n维向量空间V的一个基，对任一元素 ，总有且仅有一组数 使
称为 在基 下的坐标，记为
4．基变换与过渡矩阵
（1）基变换与过渡矩阵
设 与 都是n维向量空间V的基，且
①
即
②
称P为基 到基 的过渡矩阵。①或②称为基变换公式。
（2）坐标变换公式
设 ， 在基 下的坐标为 在基 下的坐标为 ，且
则
二、重点
（一）向量组的线性相关性的判定与证明
（二）两个向量组等价的判定
（三）向量组的秩与矩阵的秩的证明
三、典型例题
（一）线性组合（线性表示）
例1 设 ， ， 试讨论当a，b为何值时
（I） 不能由 ， ， 线性表示；
（II） 可由 ， ， 唯一地线性表示，并求出表示式；
（III） 可由 ， ， 线性表示，但表示不唯一，并求出表示式。
解 设有数 ， ， ，使得
记 ，
对 施以初等行变换，有
（I）当 ，b为任意常数时，有 知 ，故方程组无解，而 不能由 ， ， 线性表示。
（II）当 且 时， ，故方程组有唯一 解。
， ，
则 可唯一地由 ， ， 线性表示，其表示式为
（III）当 时，对 施以初等行变换，有 可知 ，故方程组有无穷多解，其全部解为 ， ，
∴
例2 已知 ， ， ， ，若 可由 ， ， 线性表示，且表示法不唯一，求t及 的表达式。
解 设 ，按分量写出为
对增广矩阵进行初等行变换得
由条件知， 从而 ，此时，增广矩阵可化为
令 解出 ，
所以 ，
例3 设向量组 ， ， 线性相关，向量组 ， ， 线性无关，问：
（1） 能否由 ， 线性表示？证明你的结论。
（2） 能否由 ， ， 线性表示？证明你的结论。
解 （1） 能由 ， 线性表示
[证法1] 因为已知向量组 ， ， 线性无关，那么它的部分组 ， 线性无关，又因 ， ， 线性相关，故 可 由 ， 线性表示。
[证法2] 因为向量组 ， ， 线性相关，故存在不全为零的数 ， ， ，使得 其中必有 。否则，若 ，则 ， 不全为零，使
即 ， 线性相关，进而 ， ， 线性相关与条件矛盾。于是 ，由此有
∴ 可由 ， 线性表示。
（2） 不能由 ， ， 线性表示
[证法1] （反证法）若 能由 ， ， 线性表示，设为
由（1）知 代入上式整理得
即 可由 ， 线性表示，从而 ， ， 线性相关。与已知矛盾。∴ 不能由 ， ， 线性表示。
[证法2] 考查方程组
因为 ， ， 线性相关，∴系数矩阵 ，又因 ， ， 线性无关，∴增广矩阵
，于是 方程组无解，因此， 不能由 ， ， 线性表示。
（二）线性相关
例4 判断下列向量组的线性相关性：
（1）
（2）
（3）
解： （1）
（2）m＞n，相关
（3）
线性相关
例5 设
① P为何值时，向量组线性无关？
② P为何值时，向量组线性相关？
解：设
则
① 当P≠2时， 线性无关；
② 当P=2时， 线性相关；
例6 已知 线性无关，试问常数m, k满足什么条件时，向量组 线性无关？（线性相关）？
解 设
即 ，由 线性无关知
其系数矩阵的行列式
① 当 时，向量组线性无关；
② 当 时，向量组线性相关；
例7 已知n维向量 ， ， 线性无关，若 ， ， 可由 ， ， 线性表示，设
证明： ， ， 线性无关的充分必要条件是
证明 记 ，
必要性：若 ， ， 线性无关，则
又
因此， ，即矩阵C可逆，
充分性：若 ，即矩阵C可逆，
则
∴ ， ， 线性无关.
例8 已知向量组 ， ， 线性无关，则下列向量组中，线性无关的是
（A） ， ，
（B） ， ,
（C） ， ，
（D） ， ，
解 由例7方法易知，选（C）
例9 已知向量组 ， ， 线性无关，向量组 ， ， 线性相关，则a =
解 由例7知
知 或
例10 设A是n阶矩阵， 是n维列向量，若 ， ，证明向量组 ， ， ，…， 线性无关。
证：（用定义，同乘）
设
由 知 ， ，…
用 左乘（1）两边，得
又 ∴ （2）
把 代入（1）式，有 用 左乘上式，可知
从而 。类似地可证
所以 ， ，…， 线性无关。
（三）两向量组等价的证明
例11 已知 与 有相同的秩，证明 与 等价。
证明：设 ，且 。
显然，向量组A可由向量组B线性表示，下证向量组B也可由向量组A线性表示即可。
设A中极大无关组为 ，由条件知 也是B中的一个极大无关组，由极大无关组的定义知， 可由 线性表示，从而可由 线性表示，从而B可由A线性表示，即A与B等价。
例12 设向量组 ，其中 ，其中 ， ，
试问：
① 当a为何值时，向量组A与B等价？
② 当a为何值时，向量组A与B不等价？
解 令
对 作初等行变换得
① 当 时， 线性无关，则
等价，同理可计算出 知B与C等价，故有 即A与B等价。
② 当a=-1时有
由于 ，故 不能为 线性表示，因此A与B不等价。
（四）向量组的极大无关组
例13 设向量组 ， ，
（1）P为何值时，该向量组线性无关，并在此时将向量 用 线性表示；
（2）P为何值时，该向量组线性相关？此时求出它的一个极大无关组。
解 令
（1） 时，向量组 线性无关，再用初等行变换将矩阵化为
∴
（2）当P=2时，对 再进行初等行变换得
∴ 是一个极大无关组，是 。
例14 设4维向量组 ， ， ， 。问a为何值时， ， ， ， 线性相关？当 ， ， ， 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。
解 解法1 记 ，则
于是当 或 时 ， ， ， 线性相关。
当 时， 为 ， ， ， 的一个极大线性无关组，且 ， ，
当 时，对A施以初等行变换，有
由于 为 的一个极大线性无关组，且 ，故 ， ， 为 ， ， ， 的一个极大线性无关组，且 。
解法2 记记 ，对A施以初等行变换，有
当 时，A的秩为1，因而 ， ， ， 线性相关，此时， 为 ， ， ， 的一个极大线性无关组，且 ， ，
当 时，再对B施以初等行变换，有
如果 ，C的秩为4，从而A的秩为4，故 ， ， ， 线性无关。
如果 ，C的秩为3，从而A的秩为3，故 ， ， ， 线性相关。
由于 为 的一个极大线性无关组，且 。于是 ， ， 为 ， ， ， 的一个极大线性无关组，且 。
（五）向量组的秩与矩阵的秩的证明
例15 设向量组（Ⅰ） ；向量组（Ⅱ） 且秩分别为 。向量组（Ⅲ） 的秩为 ，证明 。
证明：由条件可设
（Ⅰ′）： 为（Ⅰ）的一个极大无关组；
（Ⅱ′）： 为（Ⅱ）的一个极大无关组；
（Ⅲ′）： 为（Ⅲ）的一个极大无关组。
又设（Ⅳ）为
∵（Ⅲ）中向量可由（Ⅳ）线性表示，∴(Ⅲ′)中向量也可由（Ⅳ）线性表示，又(Ⅲ′)线性无关，∴ 。
例16 证明
证明：设A、B是两个 矩阵，且设
于是A+B的每个列向量都是 的线性组合，则
例17 A为 矩阵，B为 矩阵，若AB=0
证明：
证明 ∵ ，∴B的n个列向量都是 的解向量。 ，故 的基础解系所含向量的个数应为 ，从而 。
即
例18 设A为n阶矩阵，且A2=A，若 . 证明
，其中E为n阶单位阵
证明 ∵ ，∴ 从而由上例知
又 ，∴
故 ，又 ，从而
例19 设A与B都是n阶方阵，证明 的充要条件是 与 同解。
证明 “ ”设 ，则方程组 与 的基础解系所含向量的个数相同，又 的解必为 的解，故 的基础解系必为 的基础解系。从而两个方程组有相同的基础解系，故它们同解。
“ ”若 与 同解，则必有相同的基础解系，设基础解系所含向量的个数为s，则 ， ，∴ 。
（六）过渡矩阵的求法
例20 已知R3中的两组向量为
， ，
， ，
① 证明 和 都是 的基；
② 求 到 的过渡矩阵；
③ 求 在 下的坐标。
解 ①∵ ∴ 线性无关
∴ 线性无关
从而它们都是 的基
② 设
∴
③ ，解出方程组可求出 。
第三讲 线性方程组
一、内容提要
（一）线性方程组的三种表达形式
1．一般形式
（1）
（当 时，称为齐次线性方程组）
2．矩阵形式
设
则（1）可表为
3．向量形式
则（1）可表为
（二）齐次线性方程组
1．解与解空间
解向量： ，满足 的X称为齐次线性方程组的一个解向量。
解空间： 的所有解的集合，对于线性运算封闭，称为一个向量空间，亦即称为 的解空间。
2．齐次线性方程组解的性质
（1）齐次线性方程组恒有解；
（2）齐次线性方程组任二个解的线性组合仍为其解；
（3）齐次线性方程组所有解的集合构成一个向量空间，称为解空间。
3．齐次线性方程组的通解
（1）基础解系：齐次线性方程组解空间的基称为一个基础解系
（2）基础解系所含向量的个数= 。其中n为未知量的个数。A为齐次线性方程组的系数矩阵。
（3）通解：齐次线性方程组 的任一解均可表为其基础解系的线性组合，即
其中 为基础解系。
（三）非齐次线性方程组
1． 有解的充要条件
有解
向量 可由向量组 线性表示
与 ， 等价
2． 的解的性质
（1） 为 的解，则 为 的解。
（2）设 是 的解， 是 的解，则 的任一解 。
（3）设 为 的解，则 仍为 的解。
3．非齐次线性方程组解的判定
（1）设
时， 无解
（2） 时有解，在有解时
，有无穷多解， 有唯一解
4．解的结构
为 的任一解，则
其中 为 的一个特解， 为 的基础解系，这时 。
（四） 与 的解之间的关系
有无穷多解 有非零解；
有唯一解 只有零解。
反之呢？
二、重点
（一）．齐次线性方程组基础解系的求法与判定。
（二）．非齐次线性方程组解的性质。
（三）．非齐次线性方程组解的结构。
三、典型例题
（一）齐次线性方程组
例1 求下列齐次线性方程组的基础解系及通解：
解 对其系数矩阵A进行初等行变换
则有
令 得
得 。
故 即为所求得基础解系。从而通解为 （ 为常数）。
例2 齐次线性方程组 的基础解系是
（A） ， ；
（B） ；
（C） ，
（D） ，
解 对系数矩阵进行初等行变换有
知（D）即为所选。
例3 设 是齐次线性方程组 的一个基础解系。证明 也是该方程组的一个基础解系。
证明 （法一） 由 ，知 为 的解。同理 也都是 的解。
设
得
由 是基础解系知 ， 线性无关，所以有
由 有
从而 线性无关。由题设知， 的基础解系只含3个线性无关的解向量，所以 也是该方程组的一个基础解系。
（法二） 由题设 令 可知 可由 线性表示。又因
而
故有
即 也可由 线性表示。从而两向量组等价。由 线性无关及等价的向量组有相同的秩知 线性无关。且 只含3个线性无关的解向量，从而 也是该方程组的一个基础解系。
例4 已知齐次线性方程组 有非零解，则a =
解 对系数矩阵进行初等行变换，有
可见
例5 设齐次线性方程组 ， ，试问a为何值时，该方程组有非零解，并求其解。
解 方法一
对系数矩阵进行初等行变换
（1）若 ， ，方程组有非零解，其同解方程为 故其基础解系为
， ，… 所以方程组的通解为
（ 为任意常数）
（2）若 ，对矩阵B继续作初等行变换，有
当 时， ，方程组有非零解，其同解方程为
得基础解系为 所以通解为 （k为任意常数）
（方法二） 由于系数行列式
故当 或 时，方程组有非零解。
（1）当 时，有 故方程组的同解方程为
由此行基础解系为
， ，…，
通解为 （ 为任意常数）
（2）当 时，对系数矩阵进行初等行变换，有
故方程组的同解方程为
可行基础解系为 故通解为 （k为任意常数）
（二）非齐次线性方程组
例6 设线性方程组为
讨论a,b为何值时，方程组无解、有唯一解和无穷多解，并在方程组有无穷多解时，求出通解。
解 （方法一）方程组系数行列式
当 时，即 时，由Gramer法则知方程组有唯一解。
当 时，方程组系数矩阵
对方程组的增广矩阵进行初等行变换得
当 时， ,线性方程组无解；
当 时， ,线性方程组有无穷多解。其通解为
（k为任常数）。
（方法二） 对方程组的增广矩阵进行初等行变换得
当 时， ,线性方程组无解；
当 任意时， ,线性方程组有唯一解；
当 时， ,线性方程组有无穷多解。其通解为
（k为任常数）。
例7 设 ，问a为何值时，该方程组有解？并在有解时求其通解。
解 对方程组的增广矩阵进行初等行变换
当a≠-2时， ，故方程组有无穷多解。
对A1，再从下自上进行初等行变换，得
令x4=0得特解
令x4=1得基础解系η=（-3 0 1 1）
通解 为
例8 设 ，问 取何值时，此方程组无解，有唯一解或有无穷多解？
解
（1）当 且 时， ，有唯一解。
（2）当 时
有无穷多解。可求得特解
。基础解系为 ，
∴通解
（3）当 时
这里 故无解。
（三）解的性质，结构
例9 已知 ， 是AX=b的两个不同的解， ， 是相应齐次线性方程组AX=0的基础解系， 是任意常数，则 的通解是
（A） ；（B）
（C） ；（D）
解：∵ 不是 的解 ∴（A）（C）不对
又 ， 虽然是 的解，但 ， 是否线性无关不知，故不能作为 的基础解系∴（D）不对，从而选（B）
例10 设方程组
（1）证明：若 时，此方程组无解；
（2）设 ， （k≠0），且已知 ， 是该方程组的两个解，其中， ， 试求此方程组的通解。
解（1）∵ ∴
而 ，故无解。
（2）当 ， 时得等价方程组
∵ ，∴ ，其基础解系只含一个线性无关的向量，而 是 的解，故可作为基础解系，从而方程组的通解为
或
（四）线性方程组解的证明
例11 设矩阵 的秩为 ，线性方程组 有特解 。它的导出组 的一个基础解系为
证明 （1）向量 ， ， ，…， 是方程组 的 个线性无关的解向量。
（2） 的一切线性组合。
是方程线 的全部解。
证明（1） 由解的性质知， 都是 的解向量，下证其线性无关。
即
两边左乘A得
由 （ ）有
即
从而 ，于是
又由 线性无关知，
进而 所以 线性无关。
（2）显然，当 时， 是 的解。
设 为 的任一解，则 。为 的解，从而
∴
又由条件知 ， …，
…，
代入得
令
∴
且
从而结论得证。
（五）关于两个方程组解的讨论
例12 设有两个4元齐次线性方程组
（I） ；（II）
（1）求线性方程（I）的基础解系；
（2）试问方程组（I）和（II）是否有非零的公共解？若有，则求出所有的非零公共解；若没有，则说明理由。
解 （1）（I）的基础解系为
，
关于共公解有下列方法：
方法一 把（I）（II）联立起来直接求解，令
由 ，基础解系为 ，从而（I），（II）的全部公共解为 ，（k为任意实数）
方法二 通过（I）与（II）各自的通解，寻找公共解。可求得（II）的基础解系为
，
则 ， 分别为（I），（II）的通解。
令其相等，即有
由此得
比较得
故公共解为
方法三 把（I）的通解代入（II）中，在为其解时寻求 ， 应满足的关系式而求出公共解。
由于 ，要是（II）的解，应满足（II）的方程，故
解出 ，从而可求出公共解为
例13 设四元齐次线性方程组为
（Ⅰ）
且已知另一四元齐次线性方程线（Ⅱ）的一个基础解系为
，
（1）求（Ⅰ）的一个基础解系：
（2）当a为何值时，方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）有非零公共解？在有公共解时，求出全部非零公共解。
解（1）（Ⅰ）的基础解系为
，
（2）由条件知，（Ⅱ）的全部解为：
①
代入（Ⅰ）得
②
要使（Ⅰ）与（Ⅱ）有非零公共解，只需②有非零解，即
∴当 时，有非零解，代入①从而得到全部公共解为：
例14 设线性方程组
（1）
（2）
其中 为 在行列式 中的代数余子式， 不全为零。证明（1）有唯一解的充要条件是（2）有唯一解。
证明：由于方程（1）和（2）都是n个方程n个未知量，由Gramer法则知（1）有唯一的解 ; （2）有唯一的解 .又 ，而 . 从而有 :（1）有唯一解 （2）有唯一解。
（六）线性方程组与向量组线性关系的讨论
例15 设 是四阶方阵， 的通解为
问：（1） 能否由 ， 线性表示：
（2） 能否由 ， ， 线性表示。
解（1）由 知 ，又由方程组的向量表示知 ，由此有 ，故 可由 ， 线性表示。
（2）设 （*）
令 ， ，由（1）知 ，而 ，即 方程组（*）无解。∴ 不能由 ， ， 线性表示。
例16 已知4阶方阵 ， 均为4维列向量，其中 线性无关， ，如果 ，求线性方程组 的通解。
解：法一 将 写成向量形式，然后利用向量的知识求之
令
即 ，将 代入整理得
移项合并得
由 线性关系得
解此线性方程组，通解为
法二 由 且 线性无关， 知 从而 的基础解系只含一个向量，显然 故（1 -2 1 0）T为 的一个线性无关的解，即可作为基础解系，再由
知（1，1，1，1）T为 的一个特解，
从而通解为
（七）线性性方程组与几何问题的讨论
例17 已知平面上三条不同直线的方程分别为 ， ， 。试证这三条直线交于一点的充要条件是 。
证明“ ”设 交于一点，则线性方程组
（1）
有唯一解，故系数矩阵 与增广矩阵 的秩相等且均为2，于是 由于
又 故
“ ”由 ，由必要性知 故
又由于
从而 ，于是 故方程组有唯一解，即三直线交于一点。
第四讲 相似矩阵与二次型
一、内容提要
（一）向量的内积
1．向量的内积的定义
设 ， 称（ ） 为向量 与 的内积。
2．运算规律
（1）
（2）
（3）
（4） 当且仅当 时
3．向量的长度
4．向量的正交
若 ，则称 与 正交
5．正交向量组
设 ，若 ，则称 是一个正交向量组。
6．正交向量组的性质
若n维向量 是一组两两正交的向量组，则 线性无关。
7．正交基及标准正交基（正交规范基）
正交向量组构成的基称为正交基。
两两正交，且都是单位向量的基称为标准正交基。
8．标准正交基的求法（施密特正交化方法）
设 线性无关。
（1）正交化
取
……
（2）单位化
， ，……，
（二）正交矩阵
1．定义 若n阶实矩陈A满足 ，则称A为n阶正交阵。
2．A为正交阵的重要条件。
A是正交矩阵 A的行（列）向量组的每一个向量都是单位向量且两两正交。
3．正交矩阵的性质
（1）若A为正交矩阵，则 也是正交矩阵。
（2）若A，B均为正交矩阵，则AB也是正交矩阵。/
（3）若A是正交矩阵，则 。
（4）正交变换：P为n阶正交矩阵， 为n维列向量，若 ，则称此变换为正交变换。
（三）矩阵的特征值与特征向量
1．定义
设A为n阶矩阵，若存在常数 和非零n维向量 ，使 ，则称 为A的特征值， 是A的属于特征值入的特征向量。
2．特征多项式与特征方程
称 为A的特征多项式
为A的特征方程。
3．特征值与特征向量的性质
（1）属于不同特征值的特征向量是线性无关的；
（2）实对称阵属于不同特征值的特征向量是正交的；
（3）A与AT有相同的特征值。
（4）设 若 是A的特征值，则 是 的特征值。
（5） 是n阶矩阵A的特征值，则 ，
4．特征值与特征向量的求法
（1）计算A的特征多项式
（2）求出特征方程 的全部根 即为A的全部特征值。
（3）对每个 ，求出齐次线性方程组 的基础解系 则 即为矩阵A的属于特征值 的特征向量。
（四）相似矩阵
1．定义
设A，B是n阶矩阵，若存在可逆距阵P，使 ，则称矩阵A与B相似，记为A~B。
2．相似矩阵的性质
（1）反身性：A~A；
（2）对称性：若A~B，则B~A；
（3）传递性：若A~B，B~C，则A~C；
（4）若A~B，则AT~BT；
（5）若A~B，且A，B都可逆，则A-1~B-1；
（6）若A~B，则An~Bn，（ ）；
（7）相似矩阵有相同的特征多项式，特征值；
（8）相似矩阵的行列式相等；
（9）相似矩阵的秩相等；
（10）相似矩阵有相同的迹。
3．矩阵对角化
（1）定义：若n阶矩阵A与对角阵相似，则称A可对角化。
（2）n阶矩阵可对角化的条件；
① 充要条件：A有n个线性无关的特征向量。
② 充分条件：若A有n个不同的特征值，则A可对角化。
（3）矩阵对角化方法
① 求A的特征值
② 解方程组 ，求其基础解系。
基础解系的解向量即为A的属于特征值 的特征向量。
③ 以 的特征向量为列，按特征值的顺序从左往右构成可逆距阵P；
④ 与特征向量相对应，将 写在矩阵主对角线上构成对角阵
⑤ 写出相似关系式： ；
（4）实对称阵的对角化结论：
① 实对称阵的特征值都是实数；
② 实对称阵属于不同特征值的特征向量为正交；
③ 实对称阵一定可对角化。
（5）实对称阵对角化的步骤：
① 求出A的特征值 和属于 的特征向量；
② 将A的属于同一个特征值的特征向量正交化；
③ 将全部向量单位化；
④ 将正交单位化后向量为列且按 在对角矩阵的主对角线上的位置构成正交矩阵P
⑤ 写出关系式PTAP=
（五）二次型
1．二次型的定义
含n个变量 的齐次函数
称为二次型
2．二次型的矩阵及秩
利用矩阵，二次型可表为
其中 是对称矩阵，称为二次型f的矩阵，A的秩称为二次型f的秩。
3．二次型的标准形
只含平方项 的二次型称为二次型的标准形。
4．二次型的规范形
标准形的系数为1，-1，0的二次型称为f的规范形。
5．化二次型为标准形的方法
（1）配方法：（略）
（2）正次变换法：（略）
6．正定二次型
（1）定义：若二次型 对任何 都有 （<0），则称f为正定（负定）二次型，矩阵A称为正定（负定）矩阵。
若对 ，均有 （ ）则称二次f为半正定（半负定）二次型，相应地称矩阵A为半正定（半负定）矩阵。
（2）惯性定理
设实二次型 ，它的秩为 ，若有两个实可逆变换 及 ，使
则 中正数的个数与 中正数的个数相等。
（3）正定（负定）二次型的判别法（充要条件）
① f的标准形的n个系数全为正（负）；
② f的正（负）惯性指数为n；
③ f的矩阵A的特征值全大于（小于）零；
④ f的矩阵A的各顺序主子式全大于零（奇数阶小于零，偶数阶顺序主子式大于零）；
⑤ 存在可逆阵P，使 。
（六）合同变换与矩阵的合同
1．定义：A、B都是n阶矩阵，若存在可逆阵C，使得 ，则称A与B合同，记为 ，称 为合同变换。
2．性质
（1）反身性： ；
（2）对称性：若 ，则 ；
（3）传递性；若 ， 则 。
3．有关合同的结论
（1）数域P上任一对称阵合同于一个对角阵；
（2）两个同阶实对称阵合同 它们有相同的秩和正惯性指数。
二、重点
（一）特征值，特征向量的定义及求法
（二）矩阵的相似对角化；
（三）化二次型为标准型（正交变换）；
（四）矩阵相似的判定；
（五）矩阵正交的性质与判定；
（六）矩阵正定的判定。
三、典型例题
（一）特征值，特征向量的求法
例1 求矩阵 的特征值与特征向量。
解
得到矩阵A的特征值是 ，
当 时，由 ，即
得基础解系 ， 因此属于特征值 的特征向量是 （ ， 不全为零）
当 时，由 ，即
得基础解系 ，因此属于特征值 的特征向量是 （ ）
注：特例
（1） 则 ， ， ；
（2）
则 ，
例2 设n阶方阵
（1）求A的特征值和特征向量；
（2）求可逆阵P，使 为对角阵。
解 （1）当 时， ，则特征值为 。又因 ，即任何非零列向量均为1的特征向量对 可逆阵P，有
（2）当 时，
故A的的特征值 为 ， 。
当 时
原方程组的同解方程组为
令 ， ，…， ， ， 为特征向量。所以全部特征向量为 （ ）
或 设 为 的一个特征向量
则
易知 满足该等式
从而可知结论.
当 时
故基础解系为
全部特征向量为 ， 不全为零
令 有
.
例3 设三阶矩阵A的三个特征值为 1， 2， 3，求矩阵 的特征值。
解： 由特征值性质知 ，故A可逆。则 的特征值为 。从而 的特征值为 。
例4 设矩阵 ，其行列式 ，又A的伴随矩阵 有一个特征值 。属于 的一个特征向量为 ，求a，b，c和 的值。
解 由 ，则 ，又
∴
即
于是
③ ①得
代入方程组得 ， 。再由 有 从而得 ， 。
例5 设四阶矩阵A满足条件 ， ， 其中E为四阶单位阵。求 的一个特征值。
解 ∵ ， 为A的一个特征值，又 ，知 有一个特征值是 ，而
∴ 从而可知 一个特征值为 。
（二）矩阵相似的判别及证明
例6 设 问a为何值时A能对角化？
解
① 当 即 ， 时，A有三个不同的特征值，故A可对角化。
② 当 即， 时，A有特征值1（二重），2， 时， 从而 的线性无关的特征向量只有一个，不可对角化。
③ 当 时，即 时，A有特征值1，2（二重）又 ，从而A也不可对角化。
故当 ， 时，A可对角化。
例7 已知矩阵 的特征值有二重根,判断矩阵A能否对角化，并说明理由。
解
若 是二重根，则 中，含有 的因式，于是 ，解出 ，此时 ，矩阵A的3个特征值是2，2，6
对于 ，由于
故 有2个线性无关的特征向量，A可对角化. 若 不是重根，则 是完全平方，于是知 ，矩阵A的特征值为2，4，4
对于 ，由于
知 只有1个线性无关的特征向量，A不能对角化。
例8 若A可逆且A与B相似，证明
证明 由A可逆，且A与B相似知B也可逆。且存在可逆阵P，使 ，两边取逆得
即 ，
又 ， ，由 ，于是 即 ∴ 。
（三） 中已知两者求第三者
求矩阵A
例9设三阶矩阵A满足 ，其中 。求矩阵A。
解： 由 ，知A的特征值为1，2，3，对应的特征向量分别为 。由A可对角化条件知，A与对角阵 相似。即有 ，使 .故
＝
例10 已知 的特征向量为 ，求矩阵A。
解： 为 所对应的特征向量，即 。对 ，有 即 。利于矩阵的乘法及相等知， 。类似地，由 可得 。于是记 ，这时P可逆，从而有 即得
例11 设三阶实对称阵A的特征值为 ， ，对应于 的特征向量为 ，求矩阵A。
解 先求Q，设 是A的属于 的特征向量，由性质知
即
得 ，
这时
∴
求可逆矩阵P
例12 若矩阵 相似于对角阵 ，试确定常数a的值，并求可逆阵P，使 。
解
A的特征值为 ， 。
由于A相似于对角阵，故对于 应有两个线性无关的特征向量，因此，
从而由
知 此时可得到 的两个线性无关的特征向量。
，
当 时， ，令 则有
例13 设矩阵
，已知 有解但不唯一，试求：
（1）a的值；（2）正交矩阵Q，使 为对角阵.
解 （1）由条件知
若 时， 即无解
时， 有无穷多解,
从而
（2） ;分别求出特征向量后再将其单位化（不必正交化，为什么？）得
使，
（四）相似的应用
例14 （1）已知三阶矩阵A的特征值为1，-1，2，设矩阵 ，试计算 ， 。
（2）若n阶方阵A有n个特征值，0，1，2，……，n-1，且方阵B与A相似，求 。
解（1）B的特征值为 即为-4，-6，-12从而
又
令 代入 ∴
（2）B与A相似，故B有特征值0，1，2……，n-1则E+B的特征值为 ，即 ，所以
例15 设矩阵A满足 ，证明 可逆
证明：∵
∴ 即 从而A的特征值 ，设 ，
又 ， ∴
∴
故A的特征值只能是 ，从而3不是A的特征值，
∴ 故 可逆。
例16 设三阶矩阵A的特征值为 对应的特征向量为
， ，
（1）将向量 用 ， ， 表示：
（2）求 （n为自然数）
解 （1）
（2） A有三个不同的特征值，A可对角化，且 ，
∴ 故有
例17 已知矩阵
， 相似
（1）求x与y，（2）求P，使
解（1）∵A与B相似，∴ 即
比较对应系数得 ，
（2）∵A~B ∴A的特征值为2，1，-1分别求其特征向量为
， ，
∴
（五）化二次型为标准形（规范形）
求二次型的矩阵和秩
例18 设
求二次型的矩阵及秩。
解：二次型的矩阵为
易知 ,所以二次型的秩为1。
用配方法化二次型为标准型
例19 化下列二次型为标准型
（1）
（2）
解：（1） 中含 的平方项，故把 的归并起来，配方可得：
＝
＝
＝
令
即
故将二次型化为标准型 。
所用的变换矩阵为 。
（2）二次型中不含平方项。由于含有 乘积项，故令
代入可得
再配方，得
令
即
故所用变换矩阵为
用正交变换法化二次型为标准型
例20 用正交变换化下列二次型为标准型
解：二次型的矩阵为
又
于是A的特征值为 。
当 时，解方程 得基础解系 ；
当 时 ，解方程 得基础解系
由于 已是正交的，故只需将其单位化即得正交变换：
所以标准型为
含参数的二次型中参数的求法
例21 已知二次型 的秩为2，且 是A的特征向量，那么经正交变换二次型的标准形是
解 由 从 是A的特征向量，有
即
解出得 ，
从 ，知 ，于是 是A的特征值。再由 有 ，知 是A的特征值。
因此，在正交变换下二次型的标准形是：
例22 已知二次型
的秩为2
（1）求参数C及此二次型矩阵的特征值；
（2）指出方程 表示何种曲面？
解：（1）二次型的矩阵为
∵ ∵ 解得
故
故求得特征值为0，4，9，从而一定可求得正交矩阵P，使
，即 ，使
当 时，表示椭圆柱面。
例23 设二次型
1. 求二次型f的秩；
2. 求正交变换Q，使二次型f的标准形；
3. 当 时，求 的全部解。
解 1. 二次型f的秩为2
2. 记二次型f的矩阵为A
∴ ，
又 时，特征向量 ；
时，特征向量 ， 将 单位化后得 ，对 ， 施行施密特正交化后得 ，
∴ 正交变换矩阵 即为所求。
且有 ，使 。
3. 当 时，二次型 ，当 时，有 ，即 ，则 为其基础解系，故全部解为 。
例24 已知实二次型 经正交变换 可化为标准形 ，求a的值。
解 法一 f的矩阵为 特征值为6，0，0。又
知 ∴
法二 由 ∴ 从而
解得 又 代入A知 ，而 代入A， ，从而 。
（六）二次型及其矩阵是否正定的判别与证明
例25 二次型 正定，则t =
解 二次型矩阵
由二次型正定知，A的顺序主子式应全大于零，
即
解不等式知 即为所求
例26 设A是3阶实对称阵，且满足 ，若 是正定矩阵，则k
解 由 知A的特征值是0或-2，那么 的特征值是0或-2k， 的特征值是1或1-2k。
又由正定的充分必要条件是特征值全大于0，故 。
例27 证明：若A是正定矩阵，则 也是正定矩阵。
证明： ∵A正定，∴
故 ，从而 是对称阵。
下面证 正定。
方法一： 设A的特征值为 ，由A正定知， ，而 的特征值为 ，由于 ，故 正定。
方法二：A正定，故存在可逆阵C，使
∴
从而知 正定。
方法三：∵A正定，∴ 可逆阵C，使 。
故
从而知 正定。
例28 设A为 实距阵，且 ，证明 正定。
证明：∵ ，故 是对称阵。
又对 ， 由A是 距阵， 知 仅有零解，即 ，∴ , 从而知 是正定矩阵。
（七）矩阵的等价、相似、合同、正交
例29 设 为n维列向量，且 ，证明：
为对称的正交矩阵。
证明
为对称矩阵
又
为正交矩阵
例30 设
问：（1）当t为何值时，存在可逆矩阵P、Q，使PAQ =B
（2）当t为何值时，存在可逆矩阵R，使
（3）当t为何值时，存在可逆矩阵W，使
解 （1）存在可逆矩阵P、Q，使PAQ =B，
即A与B等价，而A与B等价的充要条件是
因
故 ，此时t= 0， 时，存在可逆矩阵P、Q，使PAQ =B
（2）存在可逆矩阵R，使 ，即
而 的充要条件是 且A、D的正惯性指数相等
因 时，
又 ，故D有两个特征值大于0，即D的正惯性指数为2
而 ，要使A的正惯性指数为2，必须 ，故 时，存在可逆矩阵R，使
（3）存在可逆矩阵W，使 ，即
而 则必须
因 ，C的特征值为1, 3, 5
要 ，则A的特征值必须与C的特征值相等
而
故当t = 5时，A的特征值为1, 3, 5，此时 。
